基于Logistic映射PN序列的FPGA实现

0 引 言
伪噪声序列(PN序列)可应用于扩频通信、信息加密、计算机仿真等领域。PN序列发生器需要一个随机信号源和一系列的离散、量化算法及其硬件实现技术。确定性的混沌可以复制，具有长期不可预测性，且很难区分一个信号是来自于非确定性系统还是混沌系统。因此,混沌满足密码系统设计的基本原则，利用混沌系统作为PN序列的信号源已引起了国内外学者的广泛关注与研究。
基于Logistic映射产生PN序列已有不少研究。文献[7]利用模拟电路研究了其实现技术，由深圳电感厂家于混沌对初值和参数的敏感性，两个模拟电路实现的PN序列，其电路参数不可能完全匹配，且受环境条件的变化而出现失配现象，很难保证保密通信或信息加密中两个PN序列的完全同步。因此，近年来开展了基于数字电路(如FPGA)的PN序列的实现研究，但现有的研究中大多进行仿真实验，无法保证硬件实际输出PN序列的产生及其性能的测试。为此，基于FPGA技术，利用Logistic混沌映射作为随机信号源对实现PN序列的硬件进行了深入研究，提取Logistic数值序列中二进制数的某一位bi(bi∈{0，1})为PN数字序列，实验中获得了硬件输出序列，并通过一个串口通信电路对硬件输出序列进行取样，对其进行序列统计性能分析。分析结果表明，基于Logistic的PN序列性能良好，满足PN功率电感器序列测试的标准。

1 Logistic映射
Logistic方程如下：

式中：Xn∈(0，1)电感生产；μ∈(0，4)，当μ取值[3．571 448，4]时，Logistic映射进入混沌态，并表现出复杂的动力学特性。在此取μ=4，令Xn的初值Xo=O．312 5，则xn的时间序列和吸引子相图如图1所示。

2 Logistic映射的电路设计及时间序列的量化
DSP Builder。将Ma一体成型电感器tlab和Simlalink系统级设计工具的算法开发、仿真和验证功能与VHDL综合、仿真和开发工具整合在一起，实现了这些工具的集成，将系统级设计的实现与DSP算法的开发相链接，涵盖了算法和存储功能等基本操作。可利用DSP Builder模块迅速生成算法硬件电路，并转成VHDL语言，大大缩短了FPGA的设计周期。图2为Logistic的DSP Builder电路实现模型。
图2中为消除毛刺，在各输出端加入了一个延时器。其中，xout为Xn+1的时间序列；yout为其延时一个时钟周期后的输出，即Xo。xout与yout都是以二进制数表示的一系列小数(xn∈(0，1))，可表示为：

因为时间序列Xn的数值是用二进制数表示的，随着迭代的不断进行，Xn将随之变化，此时其二进制表示中的某一位(O或1)也随之变化。因此可以提取Xn时间序列中某一位二进制位作为量化值，当Xn的时间序列值随时间变化时即生成一PN序列。图2中的XoutBit为PN序列的输出端，它取自Xn二进制数表示中的第9位。后面的分析表明，这种量化方法同样具有很好的混沌性能和随机性。
为了验证图2电路模块的正确性，对Logistic的模块电路进行仿真，其时间序列和吸引子如图3所示。比较图3和图1发现，利用DSP Builder设计的电路有效地实现了Logistic映射的功能。

3 基于FPGA的PN序列实现
图2中，xout与yout具有相同的k及l值，绕行电感k=1，l=9，即k+l=10。因为所使用的FPGA开发板自带THS5651DA转换器接受的是10引脚数据，k+l=10可实现匹配。尽管xout在最后输出前转成了10位长度，但在整个内部运算环节，是50位长度的，有限字长明显大于10，这样可以最大限度地保持精度，减少有限字长效应带来的误差，有效实现混沌的非周期特性。
理论上混沌序列是非周期的，但因为在使用有限字长表示混沌状态的情况下，加上运算结果的近似化，混沌序列最终会演化为一个周期序列。但是可以通过加长有限字长来延长周期。从实用的角度看，只要设计得好，映射和分叉参数选择合适，所产生的序列周期将足够长，序列的相关特性将足够好，可用的序列数量将足够多，可认为位转换就已够用，因为通信的时间不可能无限长。研究还发现，混沌映射产生的有限字长周期序列具有正的最大Lyapllnov指数。